- Jeudi 9 novembre 2017 : Christian Klein (Institut de Mathématiques de Bourgogne)
Multi-domain spectral methods for Green’s functions for the Maxwell equations in matterWe present a multi-domain spectral approach for the Maxwell equations in matter with a Sommerfeld radiation condition at infinity. The situation to be studied is a conductor in a matter distribution. We concentrate here on an axisymmetric situation where the boundaries of conductor and matter are formed by spherical shells. For the time dependence, a mode analysis is used, i.e., after a Fourier transformation in time the frequency is treated as a parameter in the equations. The Maxwell equations for this situation are formulated in spherical coordinates, the matter is characterized by a diecletric function.
In the numerical approach, the angular dependence is treated via a Chebychev collocation method in physical space. The axis is singular in this setting, thus no boundary conditions are needed there. For the radial dependence we introduce three domains, the first inside the conductor, the second between conductor and the boundary of the matter, the third in vacuum. Each of these domains in the radial coordinate is mapped to the interval [-1,1], in the last one we use
as a coordinate thus compactifying the outer domain. This compactification allows the treatment of infinity as a point on the grid. In each domain we use a Chebychev collocation method in coefficient space. The Sommerfeld condition is imposed by writing the fields as an outgoing wave times a function and solving only for the latter. This allows for an exact implementation of the Sommerfeld condition at infinity which is a singular point of the equation. At the domain boundaries, the usual boundary conditions for the Maxwell equations are imposed via a tau method. - Jeudi 25 janvier 2018 à 11h : Guillaume Drouet (EDF)
Une méthode de contact locale de type mortar, des équations aux applications industrielles.
La méthode des éléments finis est souvent utilisée pour approcher les problèmes de contact. De tels problèmes montrent une condition aux limites non-linéaire, ce qui nécessite que la solution U soit négative sur une partie de la frontière du domaine Ω. Cette non-linéarité conduit à une formulation faible écrite comme une inégalité variationnelle qui admet une solution unique. La régularité de la solution présente des limites quelle que soit la régularité des données. Une conséquence est que seules les méthodes par éléments finis d’ordre un et d’ordre deux sont intéressantes.
Dans ce travail nous nous intéressons aux problèmes de contact de deux corps dont les maillages respectifs ne coïncident pas sur l’interface de contact en utilisant des éléments finis d’ordre un et deux en 2D et 3D. Dans ce cas, il est maintenant connu que les conditions de contact locales de type noeud-segment ne sont pas satisfaisantes par rapport à des approches plus globales inspirées de la méthode de décomposition de domaine mortar adaptée aux problèmes de contact. Mais, ces approches plus globales sont la plupart du temps compliquées à mettre en œuvre de manière générique dans un logiciel industriel FEM. Le but de ce travail est de définir une méthode locale facile à implémenter qui soit aussi efficace que les approches mortar standards, la méthode Local Average Contact (LAC).
Cette approche gère localement la contrainte de contact en moyenne sur les mailles d’un macro-maillage bien définie indépendamment de la dimension spatiale et du degré et du type des éléments finis. La méthode LAC peut être vue comme une méthode de Lagrange dans laquelle le multiplicateur représentant la pression de contact est constant par morceaux indépendamment du degré (un ou deux) des éléments finis choisis pour les déplacements. Cette méthode satisfait alors la condition inf-sup grâce à la définition du macro-maillage. Dans ce travail, nous montrons que la méthode fournit des résultats de convergence optimaux dans la norme énergétique dans le cas général de mailles non-compatibles et combine donc les avantages de la localité tout en étant aussi efficace que l’approche mortar standard. La localité est un point clé pour implémenter efficacement de manière générique sur tous les éléments la méthode sur le logiciel FEM ciblé. Nous présentons plusieurs expériences numériques, académiques et industrielles, les résultats sont obtenus avec la mise en œuvre de la méthode dans la version officielle du code open-source FEM code_aster.
- Lundi 5 février 2018 à 11h : Olga Gorynina (LMB)
A posteriori error estimates for the wave equation
We present the a posteriori error estimates for the linear second-order wave equation discretized by the second order Newmark scheme in time and the finite element method in space. We adopt the particular choice for the parameters in the Newmark scheme, namely β=1/4 , γ=1/2, since it provides a conservative method with respect to the energy norm. We derive a posteriori error estimates of optimal order in time and space for the fully discrete wave equation. The error is measured in a physically natural norm : H^1 in space, L^∞ in time. Numerical experiments demonstrate that our error estimators are of optimal order in space and time. The resulting estimator in time is referred to as the 3-point estimator since it contains the discrete solution at 3 points in time. The 3-point time error estimator contains the Laplacian of the discrete solution which should be computed via auxiliary finite element problems at each time step. We propose an alternative time error estimator that avoids these additional computations. The resulting estimator is referred to as the 5-point estimator since it contains the fourth order finite differences in time and thus involves the discrete solution at 5 points in time at each time step. We prove that our time estimators are of optimal order at least on sufficiently smooth solutions, quasi-uniform meshes in space and uniform meshes in time. The most interesting finding of this analysis is the crucial importance of the way in which the initial conditions are discretized : a straightforward discretization, such as the nodal interpolation, may ruin the error estimators while providing quite acceptable numerical solution. We also extend the a posteriori error analysis to the general second order Newmark scheme (γ=1/2) and present numerical comparasion between the general 3-point time error estimator and the staggered grid error estimator proposed by Georgoulis et al. In addition, using obtained a posteriori error bounds, we implement an efficient adaptive algorithm in space and time. We conclude with numerical experiments that show that the manner of interpolation of the numerical solution from one mesh to another plays an important role for optimal behavior of the time error estimator and thus of the whole adaptive algorithm. - Jeudi 15 mars 2018, à 11h : Fabien Vergnet (Université Paris-Sud)
Structures actives dans un fluide visqueuxLe déplacement de micro-organismes dans des fluides biologiques est un problème d’interaction fluide-structure, qui peut se modéliser mathématiquement par un système d’équations aux dérivées partielles : les équations de Stokes pour le fluide et celles de l’élasticité non-linéaire pour les structures. La spécificité de ces structures biologiques est d’être capables de ce déformer d’elles-mêmes, grâce à des moteurs internes. Cela se traduit mathématiquement par l’ajout d’un tenseur d’activité dans les équations de l’élasticité. Néanmoins, nous verrons que toutes les déformations ne sont pas efficaces, notamment à cause du caractère visqueux des fluides biologiques. L’exposé fera un tour d’horizon de l’interaction fluide-structure à bas nombre de Reynolds, de la modélisation des structures actives, ainsi que de la résolution numérique de ce problème couplé.
- Jeudi 26 avril 2018 à 11h : Roberta Tittarelli (FEMTO-ST, ENSMM)
Deux estimateurs d’erreur a posteriori équilibrés en électromagnétismeDans cet exposé nous presentons deux estimateurs d’erreur a posteriori pour la simulation par éléments finis des courants de Foucault en régime harmonique. Ces estimateurs ont été développés pour le code de calcul à vocation industrielle code_Carmel car dans les applications, en ayant solutions peu régulières à cause par exemple des singularités des domaines géometriques, l’ordre optimale de convergence attendu par l’analyse a priori est souvent degradé. Une te chnique pour restaurer l’ordre de convergence consiste à adaptater localement le maillage à l’aide des estimateurs d’erreur a posteriori. Nous construisons alors deux estimateurs de type équilibré afin d’estimer l’erreur de discretisation en norme énergetique. Le premier est basé sur une formulation duale du système primal, pour cela il estime l’erreur due à la discrétisation des deux problèmes duaux. Le deuxième est construit uniquement à partir de la solution numérique du problème primal, en appliquant une technique de reconstruction des flux du champ de courant, donc il estime uniquement l’erreur de discrétisation du problème primal. Nous montrons ensuite l’équivalence de chaque estimateur avec l’erreur et la validation numérique des résultats théoriques. Pour conclure nous testons la performance des deux estimateurs équilibrés sur un cas test physique et les comparons avec des estimateurs de type résiduel en vue d’une implémentation d’un algorithme de remaillage automatique.
- Lundi 7 mai 2018 à 15h, salle 309B : Félix del Teso (NTNU)
Discretizations of fractional powers of the Laplacian in bounded domains
Il s’agit d’un séminaire commun avec l’équipe EDP. Le résume peut être consulté sur la page du séminaire EDP.
- Jeudi 17 mai 2018 à 11h : Frédéric Hecht (LJLL, Sorbonne-Université)
Brain imaging with FreeFem++
Joint work with Pierre Jolivet, Frédéric Nataf, Pierre-Henri Tournier (LJLL, UMPC, Sorbonne Universités, Paris, France) and Victorita Dolean (Department of Mathematics and Statistics, University of Strathclyde, Glasgow, United Kingdom)
Teaser : Microwave tomography is a novel imaging modality holding great promise for medical applications and in particular for brain stroke diagnosis. We demonstrated on synthetic data the feasibility of a microwave imaging technique for the characterization and monitoring of strokes.
Using high performance computing, we are able to obtain a tomographic reconstruction of the brain in less than two minutes.
Our work demonstrates on synthetic data the feasibility of a microwave imaging technique for the
characterization of CVAs, and won our research team the Bull-Joseph Fourier Prize in 2015. The
numerical framework is based on high-performance computing open-source tools developed by our
research team : the HPDDM library[1](L1) is an efficient parallel implementation of Domain De-
composition Methods (DDM) and is interfaced with the finite element software FreeFem++[2](L2).
Our work was carried out in collaboration with EMTensor, an Austrian innovative SME dedicated
to biomedical imaging and is based on their BRain IMaging Generation1 (BRIMG1) prototype[3].
In this colloquium, I will present this problem and how to solve it, and I make a short overview of FreeFem++ with some real time tests on classical PDE ( Poisson, Navier-Stokes, Elasticy, ...).References
[1] P. Jolivet, F. Hecht, F. Nataf and C. Prud’homme, ”Scalable Domain Decomposition Preconditioners for Heterogeneous Elliptic Problems”, International Conference on High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis, 2013
[2] F. Hecht, ”New development in FreeFem++”, J. Numer. Math. 20, 2012
[3] S. Semenov, B. Seiser, E. Stoegmann, and E. Auff, ”Electromagnetic tomography for brain imaging : from virtual to human brain”, IEEE Conference on Antenna Measurements & Applications (CAMA), 2014Links
[L1] https://github.com/hpddm/hpddm
[L2] http://www.freefem.org/ff++Support
This work was granted access to the HPC resources of TGCC@CEA under the allocations 2016-067519 and 2016-067730 made by GENCI. Authors would like to thank the French National Research Agency (ANR) for their support via the MEDIMAX grant whose PI is C. Pichot (LEAT, CNRS, France).
- Mardi 10 juillet 2018 à 11h : Julia Charrier (Aix Marseille Université)
Analyse numérique d’EDP elliptiques à coefficients aléatoires de type lognormal
Dans cet exposé on s’intéressera à des méthodes numériques pour des EDP elliptiques à coefficients lognormaux. L’intérêt pour ce type de modèle est motivé par des applications à l’étude des écoulement en milieux poreux
en présence d’incertitudes.
De manière plus générale on verra comment résoudre les difficultés apparaissant lorsqu’on considère des coefficients aléatoires non uniformément bornés et coercifs par rapport au paramètre aléatoire, potentiellement peu réguliers spatialement et dépendant de manière non-affine des paramètres aléatoires. On s’intéressera dans ce cadre à la fois à l’estimation de l’erreur provenant de l’approximation du coefficient dans un espace stochastique de dimension finie, qui est une question clé pour les méthodes de collocation stochastique entre autres, à l’estimation d’erreur éléments finis et à l’analyse numérique d’une méthode de Monte-Carlo multi-niveaux.
Ces travaux ont été effectués en collaboration avec Robert Scheichl, Aretha Teckentrup et Arnaud Debussche.
- Jeudi 11 octobre 2018, à 11h : Yassine Zaim (ISIFC)
Approximation par éléments finis conformes et non conformes enrichis
L’enrichissement des éléments finis standard est un outil performant pour améliorer la
qualité d’approximation. L’idée principale de cette approche est d’ajouter aux fonctions
de base un ensemble de fonctions censées améliorer la qualité des solutions approchées.
La clé de succès de cette dernière repose principalement sur le bon choix des fonctions
de base et plus particulièrement celui des fonctions d’enrichissement.
Une question importante se pose alors : quelles conditions faut-il imposer sur les
fonctions d’enrichissement afin qu’elles génèrent des éléments finis bien définis ?
La réponse de cette question sera présentée dans première partie de mon exposé, où je
vais présenter une approche générale d’enrichissement d’éléments finis. Le but principal
de cette dernière est de prendre en entrée un élément fini standard et de produire en sortie un élément fini enrichi, susceptible de donner
une approximation meilleure. Cette approche a conduit à l’obtention des extensions
de l’élément de Han, l’élément de Rannacher-Turek et l’élément de Wilson, qui sont
vachement utilisés dans de nombreuses applications.
La deuxième partie de la présentation sera consacrée à la mise en pratique de notre
approche à travers l’utilisation de l’un des derniers éléments, plus précisément l’élément
du type Wilson, pour résoudre numériquement le problème d’élasticité linéaire dans un
maillage rectangulaire. L’analyse de l’erreur d’approximation et de consistance sera
aussi présentée. Je vais montrer également comment l’erreur de consistance peut ˆetre
établie à n’importe quel ordre, généralisant ainsi certains travaux menés dans le domaine.
Finalement, je vais présenter les tests numériques établis à l’aide de la bibliothèque libre
GetFEM++, version 5.0, pour valider nos résultats théoriques et pour montrer comment
notre approche permet d’élargir la gamme de choix des fonctions d’enrichissement.
- Jeudi 18 octobre 2018, à 11h : Geneviève Dusson (l’Université de Warwick)
A posteriori error estimates for eigenvalue problems arising from
electronic structure calculations
Mathematical models involved in the determination of electronic
structures often require to solve nonlinear eigenvalue problems, which
are computationally very costly. Hence approximations have to be
resorted to. Among these approximations can be found : the chosen model,
the chosen discretization, and the chosen (iterative) algorithm. For a
given approximation, the a posteriori analysis, once it is performed,
provides a guaranteed upper bound on the total error. It may also enable
to separate error components stemming from the different sources of
approximation and control each of them. This makes possible to
iteratively fit the approximation parameters leading to small errors at
low computational cost.
In this talk, I will first present an a posteriori error estimation for
the eigenvectors and eigenvalues of a Schrödinger-type linear eigenvalue
problem. The a posteriori bounds are guaranteed, fully computable, and
converge with optimal speed to the given exact eigenvalues and
eigenvectors of the problem. These bounds are valid under very few
assumptions that can be checked numerically. Numerical simulations
confirm the efficiency of the bounds.
In a second part, I will illustrate how these estimations on linear
eigenvalue problems can be used for the error estimation of nonlinear
eigenvalue problems, appearing in electronic structure calculations.
- Jeudi 15 novembre 2018, à 11h : Nikola Stoilov (IMB, UBFC)
Electric Impedance Tomography
Electric Impedance Tomography (EIT) is a medical imaging technique that uses the response to voltage difference applied outside the body to reconstruct tissue conductivity. As different organs have different impedance, this technique makes it possible to produce images of the bodywithout exposing the patient to potentially harmful radiation. In mathematical terms, EIT is what is a nonlinear inverse problem, whereby data inside a given domain is recovered from data on its boundary. Such problems also belong to the area of Integrable Systems, which deals with nonlinear problems for which analytic solutions can be found, thus providing us with a mathematical framework for reconstructing images from the electrical information created by EIT. I will discuss the design of numerical algorithms based on spectral collocation methods that address D-bar problems found in both integrable systems and medical imaging. Successfully implementing these methods in EIT on modern computing architectures should allow us to achieve images with much higher resolutions at reduced processing times.
- Lundi 19 novembre 2018, à 10h : Konstantinos Kalimeris (University of Cambridge)
Asymptotic methods for computing large amplitude water waves
Asymptotic methods have a long and illustrious history in a plethora of categories both in pure and applied mathematics. The theoretical tools of asymptotic analysis provide the appropriate background for the development of methods for studying problems originated from the real world ; furthermore, these methods find several applications in physical problems.
In this talk we emphasise their application to partial differential equations which model certain problems of fluid dynamics. First, we use techniques from asymptotic analysis and perturbation theory to obtain approximate analytical and numerical solutions of a non-linear boundary value problem which comes from the Euler’s equations for fluids and describes two dimensional water waves travelling at constant speed. Second, we derive a non-local formulation for a more general modelling of water waves, including waves with moving boundaries which are related with the study of tsunamis ; we present analytical and computational results that the above techniques produce for particular cases of this problem.
- Jeudi 22 novembre 2018, à 11h : Omar Lakkis (University of Sussex)
Saint—Venant’s shallow water equations with rain
In flood risk assessment modeling Saint-Venant’s shallow water equations (SWEs) must be coupled with other systems providing recharge (inflow and internal) from the interaction of meteorological and hydrological phenomena such as rain and groundwater flows. These terms must be ultimately modelled as stochastic processes and can be quite rough in nature.
The SWEs must therefore be appropriately modified to accommodate source and sink terms. While modifications of the SWEs including rain have been proposed in the past, e.g., Delestre (2010), we provide, to the best of our knowledge, the first derivation of such models starting from the Navier—Stokes equations with appropriate free and bottom surface boundary conditions taking into account the extra terms. The resulting equations provide a natural extension of the SWEs and consistent both in momentum and energy and therefore respects the formal connections to kinetic theory. For such equations, among the shock caputring schemes, we focus on kinetic schemes by Perthame et al. which were inspired by kinetic theory.
Crucially to obtain physically meaningful momentum balance, our approach requires the introduction of novel ``friction’’ terms accounting for the inertial effects of recharge. In my talk I aim at deriving the model, discuss the existence of weak solutions and numerical simulations.
This is a joint work with Philip Townsend, Mehmet Ersoy and Donatella Donatelli.
- Mercredi 5 décembre 2018, à 11h : Artur Palha (TU Delft)
High order mimetic discretization
Le résumé :
- Jeudi 6 décembre 2018, à 11h : Denis Davydov (Université Erlangen)
Mechanics Across the Length Scales :
From Quantum Mechanics to Continuum Mechanics
In this talk we present results of application of the Finite Element Method (FEM) to mechanical problems across the length scales.
First we discuss atomistic-to-continuum coupling methods.
Such methods combine highly-accurate atomistic models in the region of interest (i.e. a crack tip) with numerically efficient continuum description to obtain computationally attractive solution approach.
Both staggered and concurrent coupling methods will be briefly discussed.
Next, we will show results of application of the FEM to problems in Quantum Mechanics, namely the Density Functional Theory.
Advantages of the FEM as compared to standard discretization techniques (finite difference and plane waves) will be discussed,
including application of the hp-adaptive FEM and the Partition-of-Unity Method.
Finally, we will present the work related to matrix-free operators applied finite-strain hyperelastic problems with geometric multigrid.
In order to improve the performance of iterative solvers within the high-performance computing context, so-called matrix-free method with sum factorization will be adopted.
Different implementations of the finite-strain hyperelastic tangent operator are investigated numerically.
In order to improve the convergence behavior of iterative solvers, we also propose a method by which to construct level tangent operators and employ them to define a geometric multigrid preconditioner.
- Jeudi 20 décembre 2018, à 11h : Wendkouni Ouedraogo (Université Nazi Boni, Burkina Faso)
Modélisation et simulations numériques de systèmes dynamiques complexes
en milieu aquatique
- Jeudi 7 février 2019, à 11h : Clémentine Courtès (Institut de Mathématiques de Toulouse)
Analyse numérique d’un schéma aux différences finies pour l’équation de Korteweg-de Vries et le système abcd
L’équation de Korteweg-de Vries et le système abcd de type Boussinesq sont deux modèles hyperboliques-dispersifs utilisés notamment en hydrodynamique pour la description d’ondes de surface pour les vagues de faible amplitude en eau peu profonde. Nous discrétisons ces deux modèles au moyen d’un schéma numérique aux différences finies et étudions sa convergence par une analyse de stabilité L^2 et d’erreur de consistance. Une attention particulière est donnée à l’étude de stabilité L^2 pour laquelle les termes non linéaires hyperboliques et les termes dispersifs doivent être pris en compte simultanément. Cette analyse fine nous permet de quantifier l’ordre de convergence du schéma par rapport à la régularité de Sobolev de la donnée initiale.
Ce travail est en collaboration avec Cosmin Burtea, Frédéric Lagoutière et Frédéric Rousset.
- Jeudi 14 février 2019, à 11h : Bastien Polizzi (Institut Camille Jordan, Université Lyon 1 )
Mixture models for phototrophic biofilms and gut microbiota ecology
The framework of mixture theory allows describing complex systems of heterogeneous fluids at the mesoscale which is an intermediary scale between micro and macro. This formalism generalises Euler equations and uses partial differential equations to model multicomponent fluids. Therefore, mixture theory is particularly well adapted to describe complex biological ecosystems such as photosynthetic microalgae biofilm and gut microbiota ecology.
The purpose of the talk will be to introduce mixture theory formalism and then present these two applications. In both cases (biofilm and gut ecology), the objective is to quantify the influence of mechanical, ecological and chemical mechanisms considered in the models. For each model the presentation structured as follow. First, the context will be present. Then the model will be described. Eventually, the numerical schemes and simulations results will be commented.
- Jeudi 28 février 2019, à 11h : Maria Kazakova (ENSTA ParisTech)
A new model of shoaling and breaking waves : Solitary waves
A new approach to model coastal waves in the shoaling and surf zones is proposed. The depth-average model is derived in shallow water regime. The large-scale turbulence is explicitly resolved through a vorticity equation while the small-scale turbulence is modelled with a turbulent viscosity hypothesis. The new approach is validated by numerical tests and by comparison with experimental results. The model features three parameters, for which empirical laws are proposed, giving the model a predictive character. This is a joint work with Gaël Richard (Université de Grenoble).
- Jeudi 7 mars 2019, à 11h : Joubine Aghili (Université de Nice & Inria Sophia-Antipolis")
Face-based Discretization of Two-phase Discrete Fracture Matrix Models with Interface Solver
We consider in this work, the two-phase Darcy discrete fracture-matrix model from [Brenner et al., 2018] with nonlinear matrix fracture transmission conditions. This type of model accounts accurately for gravity segregation in the fracture, for discontinuous capillary pressure curves at the matrix-fracture interfaces, and for fractures acting either as drains or barriers.
This model is shown to be more accurate than alternative hybrid-dimensional two-phase Darcy flow models based either on continuous phase pressures at the interfaces assuming fractures acting as drains [Bogdanov et al., 2003], or on elimination at the linear level of the interface unknowns [Karimi-Fard et al., 2004].
However, keeping the nonlinear interface equations increases the difficulty to solve the nonlinear and linear systems at each time step and at each Newton iteration. These issues come from the highly contrasted permeabilities and capillary pressures at interfaces and from the vanishing phase mobility in single phase zones combined with the absence of porous volume at the interface leading to singular systems.
To treat this issue, we investigate the possibility to eliminate the interfacial unknowns at the nonlinear level through a rigorous analysis of the local interfacial nonlinear problem obtained from the nonlinear two-phase flux conservation at a given interface. Its implementation requires to adapt the discretization strategies using face and cell based discretizations.
This work is joint with K. Brenner & R. Masson (Inria COFFEE & Univ. of Nice), J. Hennicker (Univ. Genève) and L. Trenty (Andra).
- Jeudi 14 mars 2019, à 10h : Erica Schwindt (INRIA Nancy)
Un schéma lagrangien pour un problème d’interaction fluide-structure
Cet exposé portera sur l’étude et l’extension des méthodes numériques récemment introduites dans [GM] pour résoudre certaines des équations différentielles partielles en utilisant des outils de la géométrie computationnelle.
Il s’agit d’un travail en cours, fait en collaboration avec Thomas Gallouët de l’Inria Paris, Bruno Lévy de l’Inria Nancy et Quentin
Mérigot de l’Université Paris Sud, où nous souhaitons étendre la méthode numérique proposée dans [GM] pour les équations d’Euler incompressible, au cas de systèmes d’interaction fluide-structure.
Plus précisément, nous considérons le cas d’un fluide régit par les équations d’Euler incompressibles et d’un solide rigide.
[GM] : Thomas Gallouët, Quentin Mérigot. A Lagrangian scheme à la Brenier for the incompressible Euler equations.
Foundation of Computational Mathematics, 2018. - Jeudi 14 mars 2019, à 11h : Francesco Bonaldi ( Politecnico di Milano)
Simulation du couplage élasto-acoustique par une méthode Galerkin discontinue sur des maillages généraux
Dans cet exposé, on s’intéresse au développement et à l’analyse d’une méthode Galerkin discontinue (dG) pour la discrétisation en espace d’un problème d’évolution modélisant la propagation couplée d’ondes (visco)élastiques et acoustiques. Ce type de problème se présente, par exemple, dans un contexte géophysique, c’est-à-dire dans la modélisation et simulation d’événements sismiques dans des aires proches d’environnements côtiers. D’autres cadres où ce problème joue un rôle majeur sont représentés par la modélisation de capteurs ou actionneurs immergés dans un fluide acoustique, ou bien par la médecine à ultrasons. Dans les applications pratiques, la géométrie du domaine de calcul est remarquablement irrégulière et complexe ; considérer un maillage conforme entraînerait donc un coût de calcul très élevé. On est donc amené à envisager une discrétisation basée sur des éléments polyédriques, de telle façon à pouvoir reproduire les contraintes géométriques dans une mesure raisonnable de précision, sans être au même temps trop chère en termes de calcul. La capacité de la méthode dG de gérer des maillages polyédriques a été récemment démontrée.
Dans une première partie, nous présentons d’abord la formulation du problème, en donnant un résultat d’existence et unicité pour sa solution, dans le cadre de la théorie de Hille–Yosida. Nous introduisons alors le cadre discret, en remarquant particulièrement les hypothèses sur le maillage polyédrique, et montrons un résultat de stabilité dans une norme d’énergie opportune pour la formulation du problème semi-discret. Ensuite, nous donnons des résultats de convergence hp (avec h et p désignant, comme d’habitude, le pas de maillage et le degré polynômial) pour l’erreur dans la même norme d’énergie. Enfin, nous présentons des expériences numériques effectuées dans un cadre bidimensionnel pour valider les résultats théoriques. Une simulation d’un problème d’intérêt physique, où le système est excité par une source ponctuelle dans le domaine acoustique, sera également présentée.
Dans une deuxième partie, nous présentons des résultats de validation dans un cadre 3D (convergence de la méthode dans des cas test académiques et physiques). Pour cela, les simulations ont été effectuées grâce au code SPEED développé conjointement au laboratoire MOX et au Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (DICA) du Politecnico di Milano.
L’exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Paola F. Antonietti et Ilario Mazzieri (Politecnico di Milano).
- Jeudi 21 mars 2019, à 10h : Rémi Tesson (INRIA Bordeaux)
Modélisation mathématiques de l’impact de la dynamique des microtubules sur la migration cellulaire.
La migration cellulaire est un processus biologique complexe qui intervient de façon importante lors du développement de pathologies comme le cancer. Son étude constitue un enjeu de santé publique majeur permettant, à terme, d’envisager de nouveaux types de thérapies ciblées ainsi qu’une meilleure compréhension de la maladie.
Le travail que je vais présenter se focalise sur la compréhension du rôle des microtubules, éléments dynamiques du cytosquelette, dans ce processus. Notre approche se concentre sur une description de la migration 2D des cellules à travers un modèle décrivant la déformation membranaire subie par une cellule lors de la migration. Ce modèle se base sur une description de type fluide, classique pour la modélisation cellulaire, couplée à des équations de réaction-diffusion décrivant l’état biochimique de la cellule.
Des schémas de type DDFV ont été utilisés et développés pour la simulation numérique. J’aborderai en particulier le traitement d’équations de réaction-diffusion sur domaine mobile et d’équations de transport qui en constituent les difficultés principales.
Enfin, je présenterai les travaux et premiers résultats numériques concernant le mécanisme d’action sur le comportement migratoire des cellules d’un agent antimicrotubule, la vincristine. - Jeudi 21 mars 2019, à 11h : Xavier Lhébrard (LAMA, Université Paris-Est-Marne-la-Vallée )
Prise en compte de champs magnétiques dans le modèle d’Euler bitempérature
Ce travail s’effectue dans le contexte de la fusion par confinement inertiel. Dans cette situation physique, l’échelle de temps caractéristique du phénomène est plus courte que le temps de collision entre les ions et les électrons. L’équilibre thermique entre les ions et les électrons n’est donc pas atteint. De plus, lors de la phase finale du confinement, la cible est pénétrée par des électrons relativistes induisant un champs magnétique fortement variable. Cet exposé sera en trois partie. Premièrement, on présentera une nouvelle modélisation de ce problème, sous forme de système hyperbolique non-conservatif. Ce système de six équations décrit la MHD (magnétohydrodynamique) bi-fluide pour une polarisation transverse magnétique. Deuxièmement, on expliquera comment développer un schéma volumes finis explicite par la résolution d’un système de relaxation de type Suliciu associé. L’intérêt de cet approche est de s’assurer de la fiabilité de la méthode obtenue. Plus précisément, on montrera qu’il existe des conditions suffisantes pour obtenir la robustesse (préservation de la positivité des densités et températures, inégalité d’entropie discrète) du schéma numérique. Troisièmement, on présentera des résultats numériques. On proposera de nouveaux cas tests pertinents pour les applications visées, et on comparera les résultats de notre méthode avec une version nonconservative du schéma classique HLL.
- Jeudi 28 mars 2019, à 10h : Matthieu Brachet (INRIA Grenoble)
Schémas compacts sur la grille Cubed-Sphere pour les équations de Saint Venant
Dans le cadre du renouvellement des codes de simulation de la dynamique atmosphérique, la résolution des équations de Saint Venant sphérique joue un rôle important. Bien qu’il s’agisse d’un modèle simplifié, ce dernier prend en compte plusieurs difficultés liées à la propagation atmosphérique.
Dans une première partie, je présenterai l’étude d’un schéma dans le cas plan périodique pour les équations d’advection et de Saint Venant linéarisée. La discrétisation spatiale utilise des opérateurs aux différences finies compacts d’ordre 4. La résolution en temps se fait par un intégrateur de type RK4 ou exponentiel. La précision et la stabilité du schéma seront analysées ainsi que les propriétés de conservation.
Dans une seconde partie, j’introduirai une version sphérique du schéma compact pour les opérateurs gradient, divergence et vorticité sur une grille Cubed-Sphere. Ces opérateurs sont théoriquement précis à l’ordre 3 mais un ordre 4 est constaté sur tous les tests effectués. Ils sont utilisés pour résoudre les équations de Saint Venant sphériques.
Récemment, un schéma en temps de type exponentiel a été évalué dans le contexte de la Cubed-Sphere. Ce type de schéma est linéairement exact. Il présente une meilleure stabilité que tout schéma explicite. Il nécessite d’utiliser des produits matrices vecteurs calculés par des méthodes de Krylov. Les avantages et inconvénients de cette discrétisation seront discutés. - Jeudi 28 mars 2019, à 11h : Victor Michel-Dansac (Institut de Mathématiques de Toulouse)
Second order Implicit-Explicit Total Variation Diminishing schemes for the Euler system in the low Mach regime
In this work, we consider the development of implicit explicit total variation diminishing (TVD) methods (also termed SSP : strong stability preserving) for the compressible isentropic Euler system in the low Mach number regime. The scheme proposed is asymptotically stable with a CFL condition independent from the Mach number and it degenerates, in the low Mach number regime, to a consistent discretization of the incompressible system. Since it has been proved by Gottlieb, Tadmor and Shu in 2001 that implicit schemes of order higher than one cannot be TVD (SSP), we construct a new paradigm of implicit time integrators by coupling first order in time schemes with second order ones in the same spirit as highly accurate shock capturing TVD methods in space. For this particular class of schemes, the TVD property is first proved on a linear model advection equation and then extended to the isentropic Euler case. The result is a method which interpolates from the first to the second order both in space and time, which preserves the monotonicity of the solution, highly accurate for all choices of the Mach number and with a time step only restricted by the non stiff part of the system. One and two dimensional test cases showing that the method indeed possesses the claimed properties are also presented.
This is a joint work with G. Dimarco (Ferrara), R. Loubère (Bordeaux) and M.-H. Vignal (Toulouse).
- Lundi 1 avril 2019, à 11h : Leo Nouveau (Duke University)
Mesh adaptation and the Shifted Boundary Method : Numerical tools for high order embedded computations
In this talk, we discuss two approaches allowing to improve accuracy within immersed/embedded boundary (IB/EB) methods. We will start with an introduction on IB and EB methods, and then focus on a recent approach of EB family : the Shifted Boundary Method (SBM). This new technique tries to tackle some of the flaws of IB/EB methods such as the reduced order accuracy, or the poor algebraic conditioning. The basic formulation of the SBM relies on two main ingredients : weak Nitsche-type Boundary Conditions (BC), and one sided Taylor expansion. As proposed in the original reference [1], the SBM performs poorly in presence of Neumann BC. We will discuss here an approach to overcome this limitation in the context of elliptic PDEs. Using a mixed finite element (FE) formulation, we will show how the FE spaces can be enriched to obtain an EB method providing second order accuracy for both the solution and its derivatives, and a third order solution when only Dirichlet BC are embedded. This is achieved, remaining within a P1 FE method, and retaining all the formal stability, consistency and error estimates.
The second part of the presentation is devoted to the use of mesh adaptation to further improve the solution. The idea is to adapt the mesh to the embedded geometry, to reduce the error resulting from the embedding of the BC. Two techniques are discussed. The first one, usually referred to “h-adaptation”, is a metric based remeshing. The metrics are obtained from a combination of flow variables with a distance function to the IB. The second approach, often referred as “r-adaptation”, is a constant connectivity adaptive deformation of the mesh. Its main advantage comes from its easy combination with the Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) framework, and straightforward parallelization. Indeed, combining them avoids any remeshing, interpolation and load balancing procedures.
[1] The shifted boundary method for embedded domain computations. Part I : Poisson and Stokes problems, A. Main and G. Scovazzi, J. Comput. Phys., 2018.
- Jeudi 6 juin 2019, à 11h : Guillaume Delay (ENPC et INRIA)
Hybrid High-Order methods for elliptic and Stokes problems on unfitted meshes
Co-authors : Erik Burman (UCL, UK), Alexandre Ern (ENPC and INRIA, France)
Hybrid High-Order (HHO) methods have been recently introduced in [1] to solve PDEs.
The unknowns of the method are attached to the cells and faces of the mesh.
The cell unknowns can be eliminated locally with a static condensation procedure
leading to a global problem coupling the face unknowns only.
HHO methods lead to a local conservation principle, are robust in many situations,
and are computationally effective.
As shown in [2], HHO methods are closely related to Hybrid Discontinuous Galerkin (HDG) methods
and to nonconforming Virtual Element Methods (ncVEM).
More recently, HHO methods have been adapted to solve
an elliptic interface problem on unfitted meshes [3].
The interface can cut the background mesh in a quite general fashion.
Robustness with respect to cuts is achieved by a local cell-agglomeration
procedure [3] taking full advantage of the fact that HHO methods support polyhedral meshes.
In the present work, we propose another version of HHO for the elliptic interface problem.
We also extend these results to the Stokes problem
for which the stability analysis is more delicate than for the standard coercive elliptic problem.
We derive error estimates and we present numerical simulations.
References :
[1] D. Di Pietro, A. Ern, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 283:1-21 (2015)
[2] B. Cockburn, D. Di Pietro, A. Ern, ESAIM Math. Mod. Numer. Anal., 50:635-650 (2016)
[3] E. Burman, A. Ern, SIAM J. Numer. Anal., 56:1525-1546 (2018)